Les problèmes de duplication du rectangle et du cube en Grèce antique.

Los problemas de duplicación del rectángulo y del cubo en la Grecia antigua. Utilización de la regla y el compás por Euclides, presentación del mesolabio de Eratóstenes.

L'objectif de la séquence de montrer que les mathématiques prennent souvent leur source dans des problèmes concrets (doubler une surface, doubler un volume) et de sensibiliser les élèves à la notion « d'exactitude », dans une perspective historique. Deux exemples viennent motiver cette présentation : les problèmes de duplication de l'aire d'un carré et du volume d'un cube (c'est le célèbre problème de l'autel d'Apollon à Delphes). La géométrie grecque apporte une solution « exacte » au premier (construction à la règle et au compas) alors qu'elle ne fournit qu'une solution approchée pour le deuxième (construction par tâtonnements à l'aide du mésolabe d'Eratosthène). Les pré-requis étant élémentaires, les élèves peuvent réfléchir plus facilement au sens épistémologique de l'activité et comparer ces exemples avec d'autres de leur vécu mathématique (par exemple réflexion sur le caractère exact ou approché des résultats renvoyés par une calculatrice, en particulier avec les touche )

El objetivo de la secuencia es de mostrar que las matemáticas toman frecuentamente origen en problemas concretos (duplicar un área, duplicar un volumen) y sensibilizar a los alumnos a la noción de « exactitud » con una perspectiva histórica. Dos ejemplos motivan esta presentación : los problemas de duplicación del cuadrado y la del cubo. La geometría griega proporciona una solución « exacta » al primero (construcción a la regla y el compás), pero una mera solución aproximada al segundo (construcción por tateo con la ayuda del mesolabio de Erastóstenes). Dado que los requisitos son elementales, se puede más facilmente sensibilizar los alumnos a la dimensión epistémologica de la actividad y comparar estos ejemplos con otros de sus experiencias en las Matemáticas (por ejemplo, reflexión sobre el carácter exacto o aproximado de los resultados dados por una calculadora, en particular con las teclas )

Rédacteurs :

Sandra Bella
Lycée Louis Feuillade, Lunel (académie de Montpellier)

Langue : Espagnol
Classe : Seconde
Durée indicative : 4 séances

Thèmes abordés

Les problèmes de duplication du rectangle et du cube dans la Grèce antique : utilisation de la règle et du compas (Euclide), le mésolabe d'Eratosthène.

Références au programme

• Configurations du plan : utiliser les propriétés des triangles, des quadrilatères, des cercles. Prendre appui sur les propriétés étudiées au collège.
• Savoir utiliser un logiciel de géométrie dynamique.

Niveaux de compétence en langue

Expression orale en continu : A2

Expression orale en interaction : B1

Compréhension de l'écrit : B1

Expression écrite : B1

Compréhension de l'oral : B1

Niveau visé par la séquence

Niveau A2+/B1 du CECRL.

Compétences disciplinaires

- Raisonnement par analyse et synthèse dans la recherche des constructions à la règle et au compas.
- Initiation à l'histoire et l'épistémologie des Mathématiques à travers des problèmes de constructions.
- Sensibilisation à la notion d'exactitude en Mathématiques.
- Utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique dans le but de reproduire un instrument de construction (mésolabe) et de donner une valeur approchée de la solution de la duplication du cube.

Fiche analytique

Dimensions culturelle/interculturelle/interdisciplinaire

Dimension interculturelle : histoire des mathématiques, des problèmes de la géométrie grecque.

Prérequis

- Disciplinaires : géométrie élémentaire de collège.
- Linguistiques : niveau A2-B1 du CECRL.
- Culturels : aucuns.

Activité(s) langagière(s) dominante(s) travaillée(s) au cours de la séquence

- CE de niveau B1-B2 : A partir d'un texte, compréhension d'une problématique épistémologique à partir d'un texte (la necessité de définir la notion « d'exactitude » pour pouvoir travailler en Mathématiques)
- PO de niveau B1-B2: Donner oralement une démonstration mathématique en utilisant le vocabulaire et la syntaxe appropriés
- PE de niveau B1-B2: Ecrire une démonstration mathématique en utilisant le vocabulaire et la syntaxe appropriés
- CE de niveau A2-B1: Utiliser un logiciel de géométrie dynamique en intégrant le vocabulaire des actions disponibles.
- PPI : Compte-rendu par binôme des instructions pour les constructions géométriques à la règle et au compas et de la démonstration « en cascade » de la validité de l'instrument d'Eratosthène.

Exploitation pédagogique

Démarche pédagogique

Voir le déroulement pédagogique détaillé placé en annexe.

Évaluation

Proposition d'évaluation

Compétences évaluées :
- Disciplinaire :
Réinvestir les acquis du collège.
Evaluer l'exactitude d'une démarche mathématique.
(Fichiers : Les exercices qui sont donnés aux élèves).
- Linguistique : écrire une démonstration en espagnol en utilisant le vocabulaire et la syntaxe adéquats.

Modalités de l'évaluation :
- Individuelle pour les productions écrites.
- Exposés à tour de rôle à partir des réponses aux exercices posés. Participation au débat. Production du mésolabe avec logiciel de façon plus ou moins autonome.

Ouverture et approfondissement

Approfondissement

Sitographie

Los Elementos de Euclides
Enoncés des propositions euclidiennes illustrées par des figures Geogebra.
Certaines propositions sont démontrées.
http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm

Divulgamat
Site d'information sur tout ce qui concerne la vulgarisation mathématique. http://www.divulgamat.net/

Bibliographie

Euclide, Les Eléments, traduit de texte de Heiberg, traduction et commentaires par Bernard Vitrac, PUF, Paris, 1990.

Pérez Ruy-Díaz, José Antonio, Regla, compás y otras formas de ver la Geometría. Présentation de la géométrie du compas et la règle, le compas, de papier plié, avec allumettes, etc., Creaciones Coyright, España, 2010.

EMILE

Acronyme pour « Enseignement d’une Matière par l’Intégration d’une Langue Etrangère » qui donne son origine au nom du site « EMILANGUES ». EMILE est un dispositif pédagogique qui prévoit l’enseignement de tout ou partie d’une discipline en langue vivante étrangère ; celle-ci est nommée « discipline non linguistique » (le plus souvent « DNL »).

Emilangues

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